a के कितने पूर्णांक मानों के लिए फलन f: R to | vedclass

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Question

(B) एक फलन $f(x)$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि वह अपने प्रांत पर एकदिष्ट (strictly monotonic) हो।त्रिघात बहुपद $f(x)$ के लिए,यह तब होता है जब

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(B) एक फलन $f(x)$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि वह अपने प्रांत पर एकदिष्ट (strictly monotonic) हो।त्रिघात बहुपद $f(x)$ के लिए,यह तब होता है जब $f'(x) \ge 0$ या $f'(x) \le 0$ हो।सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 6(a + 2)x + 12a$।अवकलज का गुणनखंड करने पर: $f'(x) = 6(x^2 - (a + 2)x + 2a) = 6(x - a)(x - 2)$।$f(x)$ के एकदिष्ट होने के लिए,$f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलना चाहिए। चूँकि $f'(x)$ एक द्विघात समीकरण है जिसके मूल $a$ और $2$ हैं,यह चिह्न बदलेगा जब तक कि दोनों मूल समान न हों।अतः,$a = 2$ होना चाहिए।यदि $a = 2$ है,तो $f'(x) = 6(x - 2)^2 \ge 0$ होता है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है और व्युत्क्रमणीय है।अंतराल $[-4, 6]$ में $a = 2$ ही एकमात्र पूर्णांक मान है,इसलिए ऐसे मानों की संख्या $1$ है।

$a$ के कितने पूर्णांक मानों के लिए फलन $f: R \to R, f(x) = 2x^3 - 3(a + 2)x^2 + 12ax - 7$ जहाँ $a \in [-4, 6]$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है?

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