(sqrt[4]{5}+sqrt[5]{4})^{100} के द्विपद विस्त | vedclass

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Question

(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$ है। यह $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5

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$6$

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(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$ है। यह $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5)^{\frac{100-r}{4}} (2^2)^{\frac{r}{5}} = {}^{100}C_r (5)^{\frac{100-r}{4}} (2)^{\frac{2r}{5}}$ में सरल होता है। पद के परिमेय होने के लिए,$5$ और $2$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए। $\frac{100-r}{4}$ के पूर्णांक होने के लिए,$r$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि $0 \le r \le 100$,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 100\}$। $\frac{2r}{5}$ के पूर्णांक होने के लिए,$r$ को $5$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि $0 \le r \le 100$,$r \in \{0, 5, 10, \dots, 100\}$। अतः,$r$ को $4$ और $5$ दोनों का गुणज होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ को $	ext{lcm}(4, 5) = 20$ का गुणज होना चाहिए। $r$ के संभावित मान $0, 20, 40, 60, 80, 100$ हैं। ऐसे $6$ मान हैं,इसलिए परिमेय पदों की संख्या $6$ है।

$(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के द्विपद विस्तार में परिमेय पदों की संख्या है

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