समीकरण e^{4x} + 2e^{3x} - e^{x} - 6 = 0 के वा | vedclass

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Question

(C) माना $e^{x} = t$ है। चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{x} > 0$ होता है,इसलिए $t > 0$ होना चाहिए।दिया गया समीकरण $f(t) = t^{4} + 2t^{3} - t - 6 = 0

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(C) माना $e^{x} = t$ है। चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{x} > 0$ होता है,इसलिए $t > 0$ होना चाहिए।दिया गया समीकरण $f(t) = t^{4} + 2t^{3} - t - 6 = 0$ बन जाता है।वास्तविक मूलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $t > 0$ के लिए फलन $f(t)$ का विश्लेषण करते हैं।अवकलन ज्ञात करें: $f'(t) = 4t^{3} + 6t^{2} - 1$.द्वितीय अवकलन ज्ञात करें: $f''(t) = 12t^{2} + 12t$. $t > 0$ के लिए,$f''(t) > 0$,जिसका अर्थ है कि $t > 0$ के लिए $f'(t)$ निरंतर वर्धमान फलन है।$f'(0) = -1$ और $f'(1) = 4 + 6 - 1 = 9$. चूँकि $f'(t)$ निरंतर है और अंतराल $(0, 1)$ में ऋणात्मक से धनात्मक की ओर चिह्न बदलता है,इसलिए एक अद्वितीय मूल $\alpha \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(\alpha) = 0$ है।इस प्रकार,$f(t)$ अंतराल $(0, \alpha)$ पर घटता है और $(\alpha, \infty)$ पर बढ़ता है।मुख्य बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करें:$f(0) = -6$$f(1) = 1 + 2 - 1 - 6 = -4$$f(2) = 16 + 16 - 2 - 6 = 24$चूँकि $f(1) = -4  0$,'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,अंतराल $(1, 2)$ में $t$ का ठीक एक मूल है।चूँकि $t = e^{x} > 0$ है,और फलन $f(t)$ $t > 1$ के लिए निरंतर वर्धमान है,इसलिए $x$ का केवल एक वास्तविक हल प्राप्त होता है।

समीकरण $e^{4x} + 2e^{3x} - e^{x} - 6 = 0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है:

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