સમીકરણ $\sin \left[2 \cos^{-1} \left\{\cot \left(2 \tan^{-1} x\right)\right\}\right] = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો ${\sin ^{ - 1}}a + {\sin ^{ - 1}}b + {\sin ^{ - 1}}c = \pi ,$ હોય,તો $a\sqrt {1 - {a^2}} + b\sqrt {1 - {b^2}} + c\sqrt {1 - {c^2}}$ ની કિંમત શોધો.

વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેય $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(-x) + \operatorname{Sin}^{-1}(-x) + \operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ નો વિસ્તાર શોધો.

યાદી $I$ ને યાદી $II$ સાથે જોડો અને નીચે આપેલા કોડનો ઉપયોગ કરીને સાચો જવાબ પસંદ કરો:

યાદી $I$	યાદી $II$
$P$. $\left(\frac{1}{y^2}\left(\frac{\cos (\tan ^{-1} y)+y \sin (\tan ^{-1} y)}{\cot (\sin ^{-1} y)+\tan (\sin ^{-1} y)}\right)^2+y^4\right)^{1 / 2}$ ની કિંમત	$1$. $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$
$Q$. જો $\cos x+\cos y+\cos z=0=\sin x+\sin y+\sin z$ હોય,તો $\cos \frac{x-y}{2}$ ની શક્ય કિંમત	$2$. $\sqrt{2}$
$R$. જો $\cos (\frac{\pi}{4}-x) \cos 2 x+\sin x \sin 2 x \sec x=\cos x \sin 2 x \sec x+\cos (\frac{\pi}{4}+x) \cos 2 x$ હોય,તો $\sec x$ ની શક્ય કિંમત	$3$. $\frac{1}{2}$
$S$. જો $\cot (\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2})=\sin (\tan ^{-1}(x \sqrt{6})), x \neq 0$ હોય,તો $x$ ની શક્ય કિંમત	$4$. $1$

કોડ: $P \quad Q \quad R \quad S$

સમીકરણ $\cos ^{-1}(1-x)-2 \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ ના

જો $0 \leq A \leq \frac{\pi}{4}$ હોય, તો $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2} \tan 2 A\right)+\tan ^{-1}(\cot A)+\tan ^{-1}(\cot ^{3} A)$ ની કિંમત શોધો.