$RAJASTHAN$ शब्द के अक्षरों से,सभी अक्षरों को एक साथ लेकर,ऐसे कितने शब्द बनाए जा सकते हैं जिनमें स्वर एकांतर (alternate) हों?

$5$ प्रतियोगियों को प्रथम,द्वितीय और तृतीय पुरस्कार कितने तरीकों से दिए जा सकते हैं?

शब्द $INCONSEQUENTIAL$ के अक्षरों से, किसी भी अक्षर को दोहराए बिना, $4$ अक्षरों वाले ऐसे कितने शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जा सकते हैं, जिनमें प्रत्येक में दो स्वर और दो व्यंजन हों?

आठ कुर्सियों को $1$ से $8$ तक क्रमांकित किया गया है। दो महिलाएं और तीन पुरुष प्रत्येक एक कुर्सी पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से कुर्सियां चुनती हैं,और फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से कुर्सियां चुनते हैं। संभावित व्यवस्थाओं की संख्या है

$a, b, c, d, e, f$ अक्षरों में से बिना पुनरावृत्ति के $3$ अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं,ताकि प्रत्येक विन्यास में कम से कम एक स्वर हो?

$0, 5, 6, 7, 8$ और $9$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $6000$ से बड़ी कितनी पूर्णांक संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?