$MAXIMUM$ शब्द के अक्षरों से कितने शब्द बनाए जा सकते हैं,यदि दो व्यंजन एक साथ न आएं?

$5$ पुरुषों और $4$ महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाना है कि महिलाएं सम स्थानों पर बैठें। ऐसी कितनी व्यवस्थाएं संभव हैं?

एक कमरे में $9$ कुर्सियाँ हैं जिन पर $6$ व्यक्तियों को बैठाना है। इन $6$ व्यक्तियों में से एक अतिथि है जिसे एक विशिष्ट कुर्सी पर ही बैठना है। वे कितने तरीकों से बैठ सकते हैं?

एक समूह में $12$ सदस्य हैं। $6$ सदस्यों की एक टीम को कितनी तरह से चुना जा सकता है कि एक विशेष सदस्य हमेशा शामिल रहे?

$15$ अलग-अलग पुस्तकों को $3$ सेट या समूहों में समान रूप से कितने तरीकों से विभाजित किया जा सकता है?

जब एक स्कूल के सभी छात्रों को $54$ की पंक्तियों में खड़ा किया जाता है,तो ऐसी $30$ पंक्तियाँ बनती हैं। यदि छात्रों को $45$ की पंक्तियों में खड़ा किया जाए,तो ऐसी कितनी पंक्तियाँ बनेंगी?