समतल 4x + 7y + 4z + 81 = 0 को समतल 5x + 3y + | vedclass

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Question

(A) समतलों $P_1: 4x + 7y + 4z + 81 = 0$ और $P_2: 5x + 3y + 10z - 25 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2

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$106$

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(A) समतलों $P_1: 4x + 7y + 4z + 81 = 0$ और $P_2: 5x + 3y + 10z - 25 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(4x + 7y + 4z + 81) + \lambda(5x + 3y + 10z - 25) = 0$$(4 + 5\lambda)x + (7 + 3\lambda)y + (4 + 10\lambda)z + (81 - 25\lambda) = 0$चूँकि नया समतल $x - 4y + 6z - k = 0$ है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश समानुपाती होने चाहिए:$\frac{4 + 5\lambda}{1} = \frac{7 + 3\lambda}{-4} = \frac{4 + 10\lambda}{6} = \frac{81 - 25\lambda}{-k}$पहले दो अनुपातों से: $-16 - 20\lambda = 7 + 3\lambda \implies 23\lambda = -23 \implies \lambda = -1$.चूँकि समतलों को समकोण पर घुमाया गया है,उनके अभिलंबों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:$(4 + 5\lambda)(4) + (7 + 3\lambda)(7) + (4 + 10\lambda)(4) = 0$$16 + 20\lambda + 49 + 21\lambda + 16 + 40\lambda = 0 \implies 81\lambda + 81 = 0 \implies \lambda = -1$.$\lambda = -1$ को $\frac{81 - 25\lambda}{-k} = \frac{4 + 5\lambda}{1}$ में रखने पर:$\frac{81 - 25(-1)}{-k} = \frac{4 + 5(-1)}{1} \implies \frac{106}{-k} = -1 \implies k = 106$.

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