સમતલ $2x - y + 3z + 5 = 0$ ને સમતલ $x + y + z = 1$ સાથેની તેની છેદરેખા પર $90^{\circ}$ જેટલું ફેરવવામાં આવે છે. નવી સ્થિતિમાં સમતલનું સમીકરણ શું હશે?

બિંદુ $\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ થી સમતલ $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ અને લંબપાદ શોધો.

રેખાઓ $L_1: \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2}$ અને $L_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{3}$ ધ્યાનમાં લો.
$1.$ $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ કયો છે?
$(A) \frac{-\hat{i}+7 \hat{j}+7 \hat{k}}{\sqrt{99}}$ $(B) \frac{-\hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ $(C) \frac{-\hat{i}+7 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ $(D) \frac{7 \hat{i}-7 \hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{99}}$
$2.$ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?
$(A) 0$ $(B) \frac{17}{\sqrt{3}}$ $(C) \frac{41}{5 \sqrt{3}}$ $(D) \frac{17}{5 \sqrt{3}}$
$3.$ બિંદુ $(-1,-2,-1)$ માંથી પસાર થતા અને જેનો અભિલંબ $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ હોય તેવા સમતલથી બિંદુ $(1,1,1)$ નું અંતર કેટલું છે?
$(A) \frac{2}{\sqrt{75}}$ $(B) \frac{7}{\sqrt{75}}$ $(C) \frac{13}{\sqrt{75}}$ $(D) \frac{23}{\sqrt{75}}$

રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-1}$ એ વક્ર $xy = c^2, z = 0$ ને છેદે છે,તો $c$ ની કિંમત શોધો.

જો રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{4}$ એ સમતલ $x + 2y + 3z = 15$ ને બિંદુ $P$ પર મળે છે,તો ઉગમબિંદુથી $P$ નું અંતર શોધો.

ધારો કે $\pi_1$ એ $\hat{i}+\hat{j}$ અને $\hat{j}+\hat{k}$ સદિશો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ છે,અને $\pi_2$ એ $\hat{i}-\hat{j}$ અને $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ સદિશો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ છે. ધારો કે $\vec{a}$ એ $\pi_1$ અને $\pi_2$ ની છેદરેખાને સમાંતર સદિશ છે. જો $|\vec{a}|=\sqrt{14}$ હોય,તો $|\vec{a} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})|=$