समतल 2x - y + 3z + 5 = 0 को समतल x + y + z = | vedclass

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Question

(B) दिए गए समतलों $P_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ और $P_2: x + y + z - 1 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2

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$3x + 9y + z = 17$

Vedclass · Answer

(B) दिए गए समतलों $P_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ और $P_2: x + y + z - 1 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है। $(2x - y + 3z + 5) + \lambda(x + y + z - 1) = 0$ $(2 + \lambda)x + (-1 + \lambda)y + (3 + \lambda)z + (5 - \lambda) = 0$. चूंकि समतल को प्रतिच्छेदन रेखा के परितः $90^{\circ}$ घुमाया गया है, इसलिए नया समतल मूल समतल $2x - y + 3z + 5 = 0$ के लंबवत होना चाहिए। अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2 + \lambda, -1 + \lambda, 3 + \lambda)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 3)$ हैं। लंबवत समतलों के लिए, उनके अभिलंबों का अदिश गुणनफल शून्य होता है: $(2 + \lambda)(2) + (-1 + \lambda)(-1) + (3 + \lambda)(3) = 0$ $4 + 2\lambda + 1 - \lambda + 9 + 3\lambda = 0$ $4\lambda + 14 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}$. $\lambda = -\frac{7}{2}$ को समीकरण में रखने पर: $(2 - \frac{7}{2})x + (-1 - \frac{7}{2})y + (3 - \frac{7}{2})z + (5 + \frac{7}{2}) = 0$ $-\frac{3}{2}x - \frac{9}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$ $-2$ से गुणा करने पर, हमें $3x + 9y + z - 17 = 0$ प्राप्त होता है, अर्थात $3x + 9y + z = 17$।

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