बिंदु $A(2, 9)$,$B(a, 5)$ और $C(5, 5)$ एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं जो $B$ पर समकोण है। $a$ का मान और $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(A) दिया गया है कि बिंदु $A(2, 9)$,$B(a, 5)$ और $C(5, 5)$ एक $\triangle ABC$ के शीर्ष हैं जो $B$ पर समकोण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ $(i)$.
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(a - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{a^2 - 4a + 4 + 16} = \sqrt{a^2 - 4a + 20}$.
$BC = \sqrt{(5 - a)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(5 - a)^2} = |5 - a|$.
$AC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
इन मानों को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5^2 = (\sqrt{a^2 - 4a + 20})^2 + (5 - a)^2$.
$25 = a^2 - 4a + 20 + 25 - 10a + a^2$.
$2a^2 - 14a + 20 = 0$.
$a^2 - 7a + 10 = 0$.
$(a - 2)(a - 5) = 0$.
अतः,$a = 2$ या $a = 5$.
यदि $a = 5$ है,तो $B$ और $C$ बिंदु संपाती हो जाएंगे,जो त्रिभुज के लिए संभव नहीं है। इसलिए,$a = 2$.
$a = 2$ के साथ,शीर्ष $A(2, 9)$,$B(2, 5)$ और $C(5, 5)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AB$.
$BC = |5 - 2| = 3$ इकाई।
$AB = |9 - 5| = 4$ इकाई।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ वर्ग इकाई।