બિંદુઓ $A(2, 9)$,$B(a, 5)$ અને $C(5, 5)$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે જે $B$ આગળ કાટખૂણો બનાવે છે. $a$ ની કિંમત અને $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

(A) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(2, 9)$,$B(a, 5)$ અને $C(5, 5)$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે જે $B$ આગળ કાટખૂણો બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ $(i)$.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(a - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{a^2 - 4a + 4 + 16} = \sqrt{a^2 - 4a + 20}$.
$BC = \sqrt{(5 - a)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(5 - a)^2} = |5 - a|$.
$AC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
આ કિંમતોને $(i)$ માં મૂકતા:
$5^2 = (\sqrt{a^2 - 4a + 20})^2 + (5 - a)^2$.
$25 = a^2 - 4a + 20 + 25 - 10a + a^2$.
$2a^2 - 14a + 20 = 0$.
$a^2 - 7a + 10 = 0$.
$(a - 2)(a - 5) = 0$.
તેથી,$a = 2$ અથવા $a = 5$.
જો $a = 5$ હોય,તો $B$ અને $C$ બિંદુઓ એક જ થઈ જાય,જે ત્રિકોણ માટે શક્ય નથી. તેથી,$a = 2$.
$a = 2$ લેતા,શિરોબિંદુઓ $A(2, 9)$,$B(2, 5)$ અને $C(5, 5)$ મળે છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AB$.
$BC = |5 - 2| = 3$ એકમ.
$AB = |9 - 5| = 4$ એકમ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ચોરસ એકમ.