समीकरण $4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = 0$ के वास्तविक मूलों का गुणनफल क्या होगा,यदि इसका एक मूल $3 + i\sqrt{6}$ है?

यदि $z=x+iy$ और $z^{1/3}=p+iq$ है,जहाँ $x, y, p, q \in R$ और $i=\sqrt{-1}$,तो $\left(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\right)$ का मान क्या है?

यदि ${z_1}$ और ${z_2}$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं,तो $Re({z_1}{z_2}) = $

मान लीजिए $Z$ और $W$ ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि $|Z| = |W|$,और $\text{arg } Z$,$Z$ का मुख्य कोणांक दर्शाता है।
कथन $1$: यदि $\text{arg } Z + \text{arg } W = \pi$ है,तो $Z = -\overline{W}$ है।
कथन $2$: $|Z| = |W|$ का तात्पर्य है कि $\text{arg } Z - \text{arg } \overline{W} = \pi$ है।

मान लीजिए कि $k \in R$ के उन सभी मानों का समुच्चय, जिनके लिए समीकरण $z(\bar{z} + 2 + i) + k(2 + 3i) = 0, z \in C$, का कम से कम एक हल है, अंतराल $[\alpha, \beta]$ है। तो $9(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,
$(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)$
कथन $II$: यदि $x, y, z$ तीन भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $a, b, c$ तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,जैसे कि $\frac{a}{|y-z|}=\frac{b}{|z-x|}=\frac{c}{|x-y|}$,तो
$\frac{a^2}{y-z}+\frac{b^2}{z-x}+\frac{c^2}{x-y}=1$
उपरोक्त दो कथनों के बीच,