જ્યારે (2m + 1)^{2n} (m, n in N) ને 8 વડે ભાગ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણે $(2m + 1)^{2n}$ ને $8$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે. ધારો કે $x = 2m + 1$. $m \in N$ હોવાથી,$x$ એક એકી પૂર્ણાંક છે. કોઈપણ એકી પૂર્ણાંકને $2m

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપણે $(2m + 1)^{2n}$ ને $8$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે. ધારો કે $x = 2m + 1$. $m \in N$ હોવાથી,$x$ એક એકી પૂર્ણાંક છે. કોઈપણ એકી પૂર્ણાંકને $2m + 1$ તરીકે લખી શકાય છે. $(2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1$ ધ્યાનમાં લો. $m(m + 1)$ એ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હોવાથી,તે હંમેશા બેકી સંખ્યા હોય છે. ધારો કે $m(m + 1) = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી $(2m + 1)^2 = 4(2k) + 1 = 8k + 1$. હવે,$(2m + 1)^{2n} = ((2m + 1)^2)^n = (8k + 1)^n$. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(8k + 1)^n = \binom{n}{0}(8k)^n + \binom{n}{1}(8k)^{n-1} + \dots + \binom{n}{n-1}(8k) + 1$. છેલ્લા પદ સિવાયના તમામ પદો $8$ ના ગુણક છે. તેથી,$(2m + 1)^{2n} = 8K + 1$ કોઈ પૂર્ણાંક $K$ માટે. આમ,$8$ વડે ભાગતા શેષ $1$ મળે છે.

જ્યારે $(2m + 1)^{2n}$ $(m, n \in N)$ ને $8$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

Similar Questions

જ્યારે $|x| < 1$ હોય,ત્યારે $[\sqrt{1 + x^2} - x]^{-1}$ ના $x$ ના ચડતા ઘાતાંકોમાં વિસ્તરણમાં $x$ નો સહગુણક શું છે?

ધારો કે $x = (8 \sqrt{3} + 13)^{13}$ અને $y = (7 \sqrt{2} + 9)^9$. જો $[t]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq t$ દર્શાવે,તો:

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $m, n$ માટે,જો $(1 - y)^m(1 + y)^n = 1 + a_1y + a_2y^2 + \ldots$ અને $a_1 = a_2 = 10$ હોય,તો $(m, n) = \_\_\_\_\_\_$.

$x > 0$ માટે પદાવલિ $(5+x)^{500} + x(5+x)^{499} + x^{2}(5+x)^{498} + \ldots + x^{500}$ માં $x^{101}$ નો સહગુણક શોધો.

$(2 - x^2)((1 + 2x + 3x^2)^6 + (1 - 4x^2)^6)$ ના વિસ્તરણમાં $x^2$ નો સહગુણક શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module