$\frac{d^2y}{dx^2} = \cos x - \sin x$ का हल है

सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = x \sin x$ अवकल समीकरण $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ का हल है (जहाँ $x \neq 0$ और $x > y$ या $x < -y$)।

मान लीजिए $S = (0, 2 \pi) - \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{4}\right\}$ है। मान लीजिए $y = y(x)$,$x \in S$,अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \sin 2x}$ का हल वक्र है,जहाँ $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$ है। यदि वक्र $y = y(x)$ और वक्र $y = \sqrt{2} \sin x$ के सभी प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज (abscissas) का योग $\frac{k \pi}{12}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक फलन $y = f(x)$ शर्त $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $x \rightarrow 0$ होने पर $f(x)$ परिबद्ध (bounded) है। यदि $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$ है,तो:

मान लीजिए $\frac{dy}{dx} = \frac{ax - by + a}{bx + cy + a}$,जहाँ $a, b, c$ स्थिरांक हैं,एक वृत्त को दर्शाता है जो बिंदु $(2, 5)$ से होकर गुजरता है। तो इस वृत्त से बिंदु $(11, 6)$ की न्यूनतम दूरी क्या है?

$(3, 4)$ से गुजरने वाले और अवकल समीकरण $y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + (x - y) \frac{dy}{dx} - x = 0$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण क्या हो सकता है?