$^{10}C_{x-1} > 2 \cdot ^{10}C_x$ का हल समुच्चय क्या है?

एक प्रश्न पत्र में दो खंड हैं जिनमें क्रमशः $3$ और $4$ प्रश्न हैं। प्रश्न पत्र पर निम्नलिखित नोट दिया गया है: "सभी प्रश्नों को हल करना आवश्यक नहीं है। प्रत्येक खंड से एक प्रश्न अनिवार्य है"। एक उम्मीदवार कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

कथन-$1:$ $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,$^9C_3$ है।
कथन-$2:$ $9$ अलग-अलग स्थानों में से किन्हीं $3$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या $^9C_3$ है।

यदि ${ }^{2n}C_3 : { }^{n}C_3 = 12 : 1$ है,तो $n =$

$7$ भारतीयों,$6$ अमेरिकियों,$5$ रूसियों और $4$ ऑस्ट्रेलियाई लोगों में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाने के कुल तरीके कितने हैं ताकि प्रत्येक समिति में प्रत्येक देश से कम से कम एक सदस्य हो?

$^nC_{r+1} + ^nC_{r-1} + 2^nC_r = \dots$