(1+x)^{37} के द्विपद विस्तार में अंतिम 19 पदो | vedclass

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Question

(A) $(1+x)^{37}$ के द्विपद विस्तार में कुल $37+1 = 38$ पद हैं। \ गुणांक $\binom{37}{r}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots, 37$ है। \ अंति

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$2^{36}$

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(A) $(1+x)^{37}$ के द्विपद विस्तार में कुल $37+1 = 38$ पद हैं। \ गुणांक $\binom{37}{r}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots, 37$ है। \ अंतिम $19$ पद $r = 19, 20, \dots, 37$ के अनुरूप हैं। \ सभी गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{37} \binom{37}{r} = 2^{37}$ होता है। \ समरूपता (symmetry) के अनुसार,$\binom{37}{r} = \binom{37}{37-r}$ होता है। \ मान लीजिए $S$ अंतिम $19$ पदों के गुणांकों का योग है: $S = \binom{37}{19} + \binom{37}{20} + \dots + \binom{37}{37}$। \ पहले $19$ पदों का योग $\binom{37}{0} + \binom{37}{1} + \dots + \binom{37}{18}$ है। \ चूँकि $\binom{37}{0} = \binom{37}{37}, \binom{37}{1} = \binom{37}{36}, \dots, \binom{37}{18} = \binom{37}{19}$ है,इसलिए पहले $19$ पदों का योग अंतिम $19$ पदों के योग के बराबर है। \ अतः,$2S = \sum_{r=0}^{37} \binom{37}{r} = 2^{37}$। \ इसलिए,$S = \frac{2^{37}}{2} = 2^{36}$।

$(1+x)^{37}$ के द्विपद विस्तार में अंतिम $19$ पदों के गुणांकों का योग क्या है?

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