श्रेणी sum_{n=1}^{infty} sin left(frac{n! pi} | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए $\sin(k\pi) = 0$ होता है।दी गई श्रेणी $E = \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right)$ ह

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$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{30}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{120}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{360}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{720}\right)$

Vedclass · Answer

(C) हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए $\sin(k\pi) = 0$ होता है।दी गई श्रेणी $E = \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right)$ है।पदों का विस्तार करने पर:$n=1: \sin \left(\frac{\pi}{720}\right)$$n=2: \sin \left(\frac{\pi}{360}\right)$$n=3: \sin \left(\frac{\pi}{120}\right)$$n=4: \sin \left(\frac{\pi}{30}\right)$$n=5: \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$$n=6: \sin(\pi) = 0$सभी $n \ge 6$ के लिए, $n!$ संख्या $720$ का गुणज है, इसलिए $\sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right) = 0$ होता है।अतः, योग $\sin \left(\frac{\pi}{720}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{360}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{120}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{30}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$ है।

श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right)$ का योग क्या है?

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