एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पदों का योग | vedclass

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Question

(B) माना कि गुणोत्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद $a/r, a, ar$ हैं।दिया गया है कि उनका योग $14$ है,अतः $a/r + a + ar = 14$,जिसका अर्थ है $a(1/r + 1 + r) =

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$2$

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(B) माना कि गुणोत्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद $a/r, a, ar$ हैं।दिया गया है कि उनका योग $14$ है,अतः $a/r + a + ar = 14$,जिसका अर्थ है $a(1/r + 1 + r) = 14$ ..... $(i)$प्रश्न के अनुसार,यदि पहले और दूसरे पद में $1$ जोड़ा जाए और तीसरे पद से $1$ घटाया जाए,तो नए पद $a/r + 1, a + 1, ar - 1$ प्राप्त होते हैं।चूंकि ये समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2(a + 1) = (a/r + 1) + (ar - 1)$.$2a + 2 = a/r + ar$.$2a + 2 = a(1/r + r)$.समीकरण $(i)$ से,$a(1/r + r) = 14 - a$. इस मान को समीकरण में रखने पर:$2a + 2 = 14 - a$.$3a = 12$,अतः $a = 4$.$a = 4$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $4(1/r + 1 + r) = 14$.$1/r + 1 + r = 3.5$.$1/r + r = 2.5$.$r^2 - 2.5r + 1 = 0$.$2r^2 - 5r + 2 = 0$.$(2r - 1)(r - 2) = 0$.अतः,$r = 2$ या $r = 1/2$.यदि $r = 2$ है,तो पद $4/2, 4, 4(2)$ यानी $2, 4, 8$ हैं।यदि $r = 1/2$ है,तो पद $4/(1/2), 4, 4(1/2)$ यानी $8, 4, 2$ हैं।दोनों ही स्थितियों में पद $2, 4, 8$ हैं। अतः सबसे छोटा पद $2$ है।

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