G.P. (गुणोत्तर श्रेणी) के पद धनात्मक हैं। यदि | vedclass

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Question

(A) माना कि $G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने बाद आने वाले दो पदों के योग के बराब

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$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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(A) माना कि $G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने बाद आने वाले दो पदों के योग के बराबर है,इसलिए:$T_n = T_{n+1} + T_{n+2}$सामान्य पद के सूत्र $T_n = ar^{n-1}$ का उपयोग करने पर:$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$चूंकि $a > 0$ और $r > 0$ है,इसलिए दोनों पक्षों को $ar^{n-1}$ से विभाजित करने पर:$1 = r + r^2$पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:$r^2 + r - 1 = 0$द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$चूंकि $G.P.$ के पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ भी धनात्मक होना चाहिए।अतः,हम ऋणात्मक मान को छोड़ देते हैं:$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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