अंतराल [0, 1/2] में फलन f(x)=x(x-1)(x-2) के ल | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x(x-1)(x-2) = x^3-3x^2+2x$. अवकलज $f'(x) = 3x^2-6x+2$ है। लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार, एक ऐसा $c \in (0, 1

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$1-\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{3}}$

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(A) दिया गया है $f(x) = x(x-1)(x-2) = x^3-3x^2+2x$. अवकलज $f'(x) = 3x^2-6x+2$ है। लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार, एक ऐसा $c \in (0, 1/2)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(1/2)-f(0)}{1/2-0}$ है। गणना करने पर $f(1/2) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}$ और $f(0) = 0$ प्राप्त होता है। अतः, $f'(c) = \frac{3/8 - 0}{1/2} = \frac{3}{4}$। $3c^2-6c+2 = 3/4$ रखने पर, हमें $12c^2-24c+5 = 0$ प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, $c = \frac{24 \pm \sqrt{576-240}}{24} = \frac{24 \pm \sqrt{336}}{24} = 1 \pm \frac{4\sqrt{21}}{24} = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है। चूंकि $c \in (0, 1/2)$, हम $c = 1 - \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ चुनते हैं।

अंतराल $[0, 1/2]$ में फलन $f(x)=x(x-1)(x-2)$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय का मान $C$ क्या है?

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