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Question

(B) समीकरणों के निकाय का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और निकाय असंगत हो।सारणिक $D$ इस प्रकार है:$D = \begin{vma

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$-3$

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(B) समीकरणों के निकाय का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और निकाय असंगत हो।सारणिक $D$ इस प्रकार है:$D = \begin{vmatrix} a+1 & -1 & -1 \ 1 & -(a+1) & -1 \ 1 & -1 & -(a+1) \end{vmatrix} = a^2(a+3)$कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने के लिए,$D = 0$ होना आवश्यक है,जिससे $a = 0$ या $a = -3$ प्राप्त होता है।यदि $a = 0$ है,तो समतल $x - y - z = 0$,$x - y - z = 0$,$x - y - z = 0$ बन जाते हैं,जो संपाती हैं और इनके अनंत उभयनिष्ठ बिंदु हैं।यदि $a = -3$ है,तो समतल $-2x - y - z = -3$,$x + 2y - z = -3$,$x - y + 2z = -3$ बन जाते हैं। इनका योग करने पर $0 = -9$ प्राप्त होता है,जो असंभव है। अतः,$a = -3$ के लिए कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

$a$ का वह मान जिसके लिए तीन दिए गए समतल
$P_1 : (a + 1)x - y - z = a$
$P_2 : x - (a + 1)y - z = a$
$P_3 : x - y - (a + 1)z = a$
का कोई भी उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,है

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माना $Q$ मूल बिंदु से समतल $4x - 3y + z + 13 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है और $R$ समतल पर स्थित एक बिंदु $(-1, 1, -6)$ है। तब लंबाई $QR$ है

$(1, 1, 1)$ और $(1, -1, -1)$ से गुजरने वाले और $2x - y + z + 5 = 0$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए:

यदि $-2, \frac{4}{3}, \frac{-4}{5}$ एक समतल द्वारा $X, Y, Z$-अक्षों पर बनाए गए अंतःखंड हैं,तो इस समतल के अभिलंब की दिक्कोज्याएँ क्या हैं?

यदि समतल $\vec{r} \cdot (p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + 3 = 0$ और $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}) - 5 = 0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$a$ का वह मान जिसके लिए तीन दिए गए समतल$P_1 : (a + 1)x - y - z = a$$P_2 : x - (a + 1)y - z = a$$P_3 : x - y - (a + 1)z = a$का कोई भी उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,है