lim _{x rightarrow 0} frac{1}{x^3} int_0^x fr | vedclass

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Question

(B) चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,इसलिए हम एल-हॉस्पिटल ($L$'$H$ôpital's) नियम लागू करते हैं।लीबनिज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,अंश का अवकलन

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$\frac{1}{12}$

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(B) चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,इसलिए हम एल-हॉस्पिटल ($L$'$H$ôpital's) नियम लागू करते हैं।लीबनिज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,अंश का अवकलन $\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{t \ln (1+t)}{t^4+4} dt = \frac{x \ln (1+x)}{x^4+4}$ है।हर $x^3$ का अवकलन $3x^2$ है।अतः,सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{3x^2(x^4+4)}$ हो जाती है।सरल करने पर,हमें $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1+x)}{x} \cdot \frac{1}{x^4+4}$ प्राप्त होता है।मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{0^4+4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ प्राप्त होता है।

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^3} \int_0^x \frac{t \ln (1+t)}{t^4+4} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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