$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{[x]+4} dx$ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ $[\bullet]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

$\int_{-1}^{1} x|x| \, dx = $

$\int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ का मान है

मान लीजिए कि $f:R \to R$ और $g:R \to R$ सतत फलन हैं,तो समाकलन $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ का मान क्या होगा?

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, 1]$ एक फलन है जो $f(x) = \sin^2 x$ द्वारा परिभाषित है और मान लीजिए $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ एक फलन है जो $g(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2}$ द्वारा परिभाषित है।
(इस अनुच्छेद पर आधारित दो प्रश्न हैं। नीचे दिए गए प्रश्न वे दो हैं।)
$(1)$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$(2)$ $\frac{16}{\pi^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।