समतल का सदिश समीकरण $r = (2 \hat{i} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i}) + \mu(\hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k})$ का अदिश गुणन रूप $r \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{k}) = \alpha$ है,तो $\alpha = \dots$

यदि मूल बिंदु से एक समतल पर खींचे गए लंब की लंबाई $7$ इकाई है और इसके दिक्-अनुपात $-3, 2, 6$ हैं,तो उस समतल का समीकरण क्या है?

यदि बिंदु $(1, -1, \lambda)$ और $(-3, 0, 1)$ समतल $3x - 4y - 12z + 13 = 0$ से समान दूरी पर हैं,तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?

बिंदु $(2, -1, -3)$ से गुजरने वाले और रेखाओं $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{-4}$ और $\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 2}{2}$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

दो आयताकार अक्ष प्रणालियों का मूल बिंदु समान है। यदि एक समतल उन्हें मूल बिंदु से क्रमशः $a, b, c$ और $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ की दूरी पर काटता है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{a^{\prime 2}}+\frac{1}{b^{\prime 2}}+\frac{1}{c^{\prime 2}}$।

कथन: बिंदु $(2, 1, 5)$ और $(3, 4, 3)$ समतल $2x + 2y - 2z - 1 = 0$ के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं।
कारण: दिए गए बिंदुओं से समतल की बीजीय लंबवत दूरियों के चिह्न विपरीत होते हैं।