एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन 2 cm^3/sec की दर | vedclass

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Question

(A) माना $V$ आयतन है और $S$ त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है। दिया गया है: $\frac{dV}{dt} = 2 \ cm^3/sec$. हम जानते हैं कि ग

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$1$

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(A) माना $V$ आयतन है और $S$ त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है। दिया गया है: $\frac{dV}{dt} = 2 \ cm^3/sec$. हम जानते हैं कि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2 \pi r^2}$. गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है। $\frac{dS}{dt}$ के समीकरण में $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2 \pi r^2}$ रखने पर: $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{1}{2 \pi r^2} \right) = \frac{4}{r}$. जब $r = 4 \ cm$ है, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dS}{dt} = \frac{4}{4} = 1 \ cm^2/sec$ होगी। अतः, सही विकल्प $A$ है.

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