एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और परिमाप दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं और परिमाप के तीन गुने हैं। क्या दोनों त्रिभुज समरूप हैं? क्यों?

(A) हाँ,दोनों त्रिभुज समरूप हैं।
माना पहले त्रिभुज की भुजाएँ $a_1, b_1, c_1$ हैं और उसका परिमाप $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$ है।
माना दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ $a_2, b_2, c_2$ हैं और उसका परिमाप $P_2 = a_2 + b_2 + c_2$ है।
दिया गया है कि $a_1 = 3a_2$,$b_1 = 3b_2$ और $P_1 = 3P_2$ है।
चूँकि $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$ और $P_2 = a_2 + b_2 + c_2$,इसलिए $3P_2 = 3a_2 + 3b_2 + c_1$ होगा।
$P_2 = a_2 + b_2 + c_2$ का मान रखने पर,हमें $3(a_2 + b_2 + c_2) = 3a_2 + 3b_2 + c_1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3c_2 = c_1$ मिलता है।
चूँकि तीनों संगत भुजाएँ समानुपाती हैं $(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 3)$,इसलिए $SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,दोनों त्रिभुज समरूप हैं।