बिंदु (2,0) से परवलय 2y^{2} = -x पर दो स्पर्श | vedclass

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Question

(D) परवलय का समीकरण $y^{2} = -\frac{1}{2}x$ है। $y^{2} = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = -\frac{1}{2}$,अतः $a = -\frac{1}{8}$। ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का

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$9$

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(D) परवलय का समीकरण $y^{2} = -\frac{1}{2}x$ है। $y^{2} = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = -\frac{1}{2}$,अतः $a = -\frac{1}{8}$। ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - \frac{1}{8m}$ है। चूँकि स्पर्श रेखा $(2,0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = 2m - \frac{1}{8m}$,जिसका अर्थ है $2m = \frac{1}{8m}$,अतः $m^{2} = \frac{1}{16}$,यानी $m = \pm \frac{1}{4}$। स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x - 4y - 2 = 0$ और $x + 4y - 2 = 0$ हैं। ये रेखाएँ वृत्त $(x-5)^{2} + y^{2} = r$ को स्पर्श करती हैं। केंद्र $(5,0)$ से रेखा $x \pm 4y - 2 = 0$ की दूरी त्रिज्या $\sqrt{r}$ के बराबर होनी चाहिए। दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{r} = \frac{|5 - 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + (-4)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$r = \frac{9}{17}$। अतः,$17r = 9$।

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