$r$ का वह मान जिसके लिए $^{15}C_{r + 3} = {}^{15}C_{2r - 6}$ है,है:

विद्यार्थियों के एक समूह में $5$ लड़के और $n$ लड़कियाँ हैं। यदि इस समूह से $3$ विद्यार्थियों की एक टीम इस प्रकार चुनी जाती है कि प्रत्येक टीम में कम से कम एक लड़का और कम से कम एक लड़की हो,तो इसके कुल तरीके $1750$ हैं,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $^nC_r$,$n$ वस्तुओं में से एक समय में $r$ वस्तुओं को लेकर बने संयोजनों की संख्या को दर्शाता है,तो व्यंजक $^nC_{r+1} + ^nC_{r-1} + 2 \times ^nC_r$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $A_1, A_2, ....., A_{11}$ एक टीम के खिलाड़ी हैं जिनकी टी-शर्ट पर $1, 2, ....., 11$ नंबर अंकित हैं। टीम ने $100$ सोने के सिक्के जीते हैं। इन सिक्कों को खिलाड़ियों के बीच इस तरह वितरित किया जाना है कि प्रत्येक खिलाड़ी $A_i$ को अपने टी-शर्ट नंबर से कम से कम $1$ सिक्का अधिक मिले। इसके अतिरिक्त,कप्तान $(A_1)$ और उप-कप्तान $(A_2)$ को अपने टी-शर्ट नंबर से क्रमशः कम से कम $5$ और $3$ सिक्के अधिक मिलने चाहिए। इन सिक्कों को कितने अलग-अलग तरीकों से वितरित किया जा सकता है?

यदि $^{n + 1}{C_3} = 2{\,^n}{C_2}$ है,तो $n =$

$3$ प्रशिक्षुओं,$4$ प्रोफेसरों और $6$ अनुसंधान सहयोगियों में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में $2$ प्रशिक्षु और $3$ अनुसंधान सहयोगी होने चाहिए,तो इसे कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?