गुणन के अंतर्गत समूह G = {2^{n} mid n in math | vedclass

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Question

(D) एक समूह $G$ का उपसमुच्चय $H$ एक उपसमूह होता है यदि वह स्वयं उसी संक्रिया के अंतर्गत एक समूह हो।$H = \{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ के लिए,हम देख

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$\{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$

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(D) एक समूह $G$ का उपसमुच्चय $H$ एक उपसमूह होता है यदि वह स्वयं उसी संक्रिया के अंतर्गत एक समूह हो।$H = \{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ के लिए,हम देखते हैं कि $4^{n} = (2^{2})^{n} = 2^{2n}$। चूँकि सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $2n \in \mathbb{Z}$ है,इसलिए $H \subset G$।$1.$ संवृतता: $4^{n} \cdot 4^{m} = 4^{n+m} \in H$।$2.$ तत्समक अवयव: $4^{0} = 1 = 2^{0} \in H$।$3.$ प्रतिलोम अवयव: $4^{n} \in H$ के लिए,इसका प्रतिलोम $4^{-n} \in H$ है।अतः,$\{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ समूह $G$ का एक उपसमूह है।

गुणन के अंतर्गत समूह $G = \{2^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ का निम्नलिखित में से कौन सा उपसमूह है?

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