सामान्य संकेतों के साथ,एक त्रिभुज ABC में,a c | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।व्यंजक $S = a \cos(B - C) + b \cos(C - A) + c \cos(A - B)$ में इनका मान रखने

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$\frac{abc}{R^2}$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।व्यंजक $S = a \cos(B - C) + b \cos(C - A) + c \cos(A - B)$ में इनका मान रखने पर:$S = 2R \sin A \cos(B - C) + 2R \sin B \cos(C - A) + 2R \sin C \cos(A - B)$.चूंकि $A = 180^{\circ} - (B + C)$,इसलिए $\sin A = \sin(B + C)$ है।$S = 2R [\sin(B + C) \cos(B - C) + \sin(C + A) \cos(C - A) + \sin(A + B) \cos(A - B)]$.$2 \sin X \cos Y = \sin(X + Y) + \sin(X - Y)$ का उपयोग करने पर:$S = R [(\sin 2B + \sin 2C) + (\sin 2C + \sin 2A) + (\sin 2A + \sin 2B)]$.$S = 2R (\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$.सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर:$S = 2R (4 \sin A \sin B \sin C) = 8R \sin A \sin B \sin C$.चूंकि $\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$ है:$S = 8R \left(\frac{a}{2R}\right) \left(\frac{b}{2R}\right) \left(\frac{c}{2R}\right) = \frac{8abc}{8R^2} = \frac{abc}{R^2}$.

सामान्य संकेतों के साथ,एक त्रिभुज $ABC$ में,$a \cos(B - C) + b \cos(C - A) + c \cos(A - B)$ का मान क्या है?

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