$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है और इसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $O$ से होकर एक रेखाखंड $PQ$ खींचा गया है जो $AB$ के समांतर है और $AD$ को $P$ पर तथा $BC$ को $Q$ पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि $PO = QO$ है।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है। विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $PQ \parallel AB \parallel DC$.
सिद्ध करना है: $PO = QO$.
उपपत्ति: $\triangle ADC$ में,$PO \parallel DC$ (क्योंकि $PQ \parallel DC$ है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{AP}{PD} = \frac{AO}{OC}$ ........$(i)$
$\triangle ABC$ में,$OQ \parallel AB$ है।
$BPT$ के अनुसार:
$\frac{BQ}{QC} = \frac{AO}{OC}$ ........$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AP}{PD} = \frac{BQ}{QC}$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$\frac{AP}{PD} + 1 = \frac{BQ}{QC} + 1$
$\frac{AP + PD}{PD} = \frac{BQ + QC}{QC}$
$\frac{AD}{PD} = \frac{BC}{QC}$
$\Rightarrow \frac{PD}{AD} = \frac{QC}{BC}$ ........$(iii)$
अब,$\triangle ABD$ में,$PO \parallel AB$ है। अतः,$\triangle POD \sim \triangle ABD$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसलिए,$\frac{PO}{AB} = \frac{PD}{AD}$ ........$(iv)$
$\triangle ABC$ में,$OQ \parallel AB$ है। अतः,$\triangle OQC \sim \triangle ABC$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसलिए,$\frac{OQ}{AB} = \frac{QC}{BC}$ ........$(v)$
$(iii)$,$(iv)$ और $(v)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{PO}{AB} = \frac{OQ}{AB}$
$\Rightarrow PO = OQ$. इति सिद्धम्।