F(x) = log |sin x|,जहाँ x in (0, pi),किस अंतर | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = \log |\sin x|$ है,जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।चूँकि $x \in (0, \pi)$,$\sin x$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए हम $f(x) = \log(\sin x)$ लि

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केवल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया फलन $f(x) = \log |\sin x|$ है,जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।चूँकि $x \in (0, \pi)$,$\sin x$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए हम $f(x) = \log(\sin x)$ लिख सकते हैं।यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल पर निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।अतः,$\cot x > 0$ होना चाहिए।अंतराल $(0, \pi)$ में,$\cot x$ का मान $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए धनात्मक होता है।इस प्रकार,फलन $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर निरंतर वर्धमान है।

$F(x) = \log |\sin x|$,जहाँ $x \in (0, \pi)$,किस अंतराल पर निरंतर वर्धमान है?

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यदि $f(x) = \frac{x}{\log x}$ है,तो $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान (increasing) है?

फलन $f(x) = \frac{4x^2 + 1}{x}$ किस अंतराल में ह्रासमान (decreasing) है?

वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें फलन $f(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 30$ है:
$(a)$ वर्धमान
$(b)$ ह्रासमान।

सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \sin x$ द्वारा प्रदत्त फलन $(0, \pi)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान।

मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$,$x \in R$,जहाँ $a, b, d$ शून्येतर वास्तविक स्थिरांक हैं। तो

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