int_{-pi / 2}^{pi / 2} frac{cos x}{1+e^{x}} d | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$  $(i)$ गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने प

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$1$

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(A) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$  $(i)$ गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -\pi / 2$ और $b = \pi / 2$,अतः $a+b = 0$. इसलिए,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{-x}} d x$ अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{e^x \cos x}{e^x + 1} d x$ $(ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} d x$ $2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos x d x$ चूँकि $\cos x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \cos x d x$ $2I = 2[\sin x]_{0}^{\pi / 2} = 2(1 - 0) = 2$ अतः,$I = 1$.

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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