int frac{e^{tan ^{-1} x}}{1+x^2}left[left(sec | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}ight)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)ight] d x$ ह

Vedclass · Accepted Answer

$(	an ^{-1} x)^2 e^{	an ^{-1} x}+c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}ight)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)ight] d x$ है। $x = 	an t$ रखने पर,$dx = \sec^2 t \, dt$ प्राप्त होता है। चूँकि $x > 0$,$t = 	an^{-1} x \in (0, \pi/2)$ है। अतः $\sec^{-1} \sqrt{1+x^2} = \sec^{-1}(\sec t) = t$ और $\cos^{-1}(\frac{1-x^2}{1+x^2}) = \cos^{-1}(\cos 2t) = 2t$ है। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{e^t}{1+	an^2 t} [t^2 + 2t] \sec^2 t \, dt = \int e^t (t^2 + 2t) \, dt$। सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) \, dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$ है: $I = e^t \cdot t^2 + c = e^{	an^{-1} x} (	an^{-1} x)^2 + c$।

$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$,जहाँ $x>0$ है,का मान है

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$x > 0$ के लिए $\int \frac{e^{\tan ^{-1}(x)}}{1+x^2} \left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$ का मान है

$\int {{e^{2x}}( - \sin x + 2\cos x)\,dx} = $

$\int e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} (x + \sqrt{x}) \, dx$

$\int e^x \left[ \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right] dx =$

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