$ABC$ एक त्रिभुजाकार पार्क है जिसमें $AB = AC = 100 \, m$ है। $BC$ के मध्य-बिंदु $D$ पर एक क्लॉक टावर स्थित है। टावर के शीर्ष के $A$ और $B$ पर उन्नयन कोण क्रमशः $\cot^{-1} 3.2$ और $\csc^{-1} 2.6$ हैं। टावर की ऊँचाई .... $m$ है।

$\triangle ABC$ में,यदि $\cos ^2 A + \cos ^2 B + \cos ^2 C = 1$ है,तो $\triangle ABC$ है

एक त्रिभुज $ABC$ में,यदि $A = \frac{\pi}{4}$ और $\tan B \tan C = K$ है,तो $K$ को किस शर्त को संतुष्ट करना चाहिए?

एक गैर-समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में, मान लीजिए $p, q, r$ क्रमशः $P, Q, R$ कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई दर्शाते हैं। $R$ से खींची गई माध्यिका भुजा $PQ$ को $S$ पर मिलती है, $P$ से खींचा गया लंब भुजा $QR$ को $E$ पर मिलता है, और $RS$ तथा $PE$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $p=\sqrt{3}, q=1$, और $\triangle PQR$ के परिवृत्त की त्रिज्या $1$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\triangle SOE$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ के अंतःवृत्त की त्रिज्या $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ की लंबाई $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ की लंबाई $= \frac{1}{6}$

एक मीनार एक क्षैतिज तल पर स्थित है। मीनार के आधार से गुजरने वाली रेखा पर दो बिंदु स्थित हैं,जो आधार से $a$ और $b$ की दूरी पर हैं। इन बिंदुओं से मीनार की चोटी के उन्नयन कोण $\alpha$ और $90^\circ - \alpha$ हैं। यदि दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा मीनार की चोटी पर $\theta$ कोण बनाती है,तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

$\triangle ABC$ में,$a^3 \cos(B-C) + b^3 \cos(C-A) + c^3 \cos(A-B)$ का मान ज्ञात कीजिए।