lim _{n} {rightarrow infty} n^{-n k} left{(n+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $P = \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} n^{-n k} \left\{(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{1}{2^2}\right) \ldots\left(n+\frac{1}{2

Vedclass · Accepted Answer

$e^{2\left(1-\frac{1}{2^k}\right)}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $P = \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} n^{-n k} \left\{(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{1}{2^2}\right) \ldots\left(n+\frac{1}{2^{k-1}}\right)\right\}^n$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log P = \lim _{n \rightarrow \infty} n \left[ \sum_{j=0}^{k-1} \log \left(1 + \frac{1}{2^j n}\right) \right]$. પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+ax)}{x} = a$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log P = \sum_{j=0}^{k-1} \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{\log \left(1 + \frac{1}{2^j n}\right)}{1/n} = \sum_{j=0}^{k-1} \frac{1}{2^j}$. આ $k$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=1/2$ છે: $\sum_{j=0}^{k-1} \left(\frac{1}{2}\right)^j = \frac{1(1-(1/2)^k)}{1-1/2} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)$. તેથી,$P = e^{2 \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)}$.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} n^{-n k} \left\{(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{1}{2^2}\right) \ldots\left(n+\frac{1}{2^{k-1}}\right)\right\}^n=$

Similar Questions

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{(x + 1)}^{10}} + {{(x + 2)}^{10}} + \dots + {{(x + 100)}^{10}}}}{{{x^{10}} + {{10}^{10}}}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $L = \lim_{x^2 \to a} \frac{b - \cos(x^2 - a)}{(x^2 - a) \sin(c(x^2 - a))}$ એ શૂન્યતર શાંત કિંમત $(a > 0)$ હોય,તો:

જો $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-(10)^n}{1+(10)^{n+1}}=\frac{-\alpha}{10}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

પૂર્ણાંક $n$ જેના માટે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\frac{(\cos x - 1)(\cos x - e^x)}{x^n}$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા મળે,તે $n$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+6}{x+1}\right)^{x+4}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module