int_0^{2 pi} frac{x cos x}{1+cos x} d x= | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} \frac{x \cos x}{1+\cos x} d x$ ... $(i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त

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उपरोक्त में से कोई नहीं।

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} \frac{x \cos x}{1+\cos x} d x$ ... $(i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_0^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \cos(2 \pi - x)}{1 + \cos(2 \pi - x)} d x$ चूंकि $\cos(2 \pi - x) = \cos x$,इसलिए: $I = \int_0^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \cos x}{1 + \cos x} d x$ ... (ii) $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $2I = \int_0^{2 \pi} \frac{2 \pi \cos x}{1 + \cos x} d x = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x$ $I = \pi \int_0^{2 \pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x = 2 \pi \int_0^{\pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x$ $I = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{1 + \cos x}) d x = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{2 \cos^2(x/2)}) d x$ $I = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{2} \sec^2(x/2)) d x$ $I = 2 \pi [x - 	an(x/2)]_0^{\pi}$ सीमाओं पर मान रखने पर: $I = 2 \pi [(\pi - 	an(\pi/2)) - (0 - 	an(0))]$। चूंकि $	an(\pi/2)$ अपरिभाषित है,इसलिए समाकलन का मान अनंत है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

$\int_0^{2 \pi} \frac{x \cos x}{1+\cos x} d x=$

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