int_{-pi / 8}^{pi / 8} frac{sin ^4(4 x)}{1+e^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x$ ....$(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 \pi}{64}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x$ ....$(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $a = -\frac{\pi}{8}$ અને $b = \frac{\pi}{8}$, તેથી $a+b = 0$ મળે છે.$I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(-4 x)}{1+e^{-4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+\frac{1}{e^{4 x}}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{e^{4 x} \sin ^4(4 x)}{e^{4 x}+1} d x$ ....(ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{(1+e^{4 x}) \sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$$\sin^4(4x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી, $2I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$, તેથી $I = \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$ મળે.ધારો કે $4x = t$, તો $4 dx = dt$, એટલે કે $dx = \frac{1}{4} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{8}, t=\frac{\pi}{2}$.$I = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^4 t d t$.વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t dt = \frac{(n-1)!!}{n!!} 	imes \frac{\pi}{2}$ (જ્યાં $n$ યુગ્મ છે) નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{1}{4} 	imes \left( \frac{3 	imes 1}{4 	imes 2} 	imes \frac{\pi}{2} ight) = \frac{1}{4} 	imes \frac{3 \pi}{16} = \frac{3 \pi}{64}$.

$\int_{-\pi / 8}^{\pi / 8} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x=$

Similar Questions

$\int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} d x=$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx =$

$\int_0^{2 \pi} \theta \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan x}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module