int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx$. $x = a \sin 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = a \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi a^6}{32}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx$. $x = a \sin 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = a \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0$ અને જ્યારે $x = a$,ત્યારે $	heta = \frac{\pi}{2}$. $I = \int_0^{\pi/2} (a^2 \sin^2 	heta) (a^2 - a^2 \sin^2 	heta)^{3/2} (a \cos 	heta) d	heta$ $I = \int_0^{\pi/2} (a^2 \sin^2 	heta) (a^2 \cos^2 	heta)^{3/2} (a \cos 	heta) d	heta$ $I = \int_0^{\pi/2} (a^2 \sin^2 	heta) (a^3 \cos^3 	heta) (a \cos 	heta) d	heta$ $I = a^6 \int_0^{\pi/2} \sin^2 	heta \cos^4 	heta d	heta$ સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^m 	heta \cos^n 	heta d	heta = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = a^6 \frac{\Gamma(\frac{3}{2}) \Gamma(\frac{5}{2})}{2 \Gamma(\frac{8}{2})} = a^6 \frac{(\frac{1}{2} \sqrt{\pi}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{2 \cdot 3!} = a^6 \frac{\frac{3}{8} \pi}{2 \cdot 6} = a^6 \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi a^6}{32}$.

$\int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx = $

Similar Questions

$\int_{-\pi}^{\pi} (\cos px - \sin qx)^2 dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે).

જો $\int_1^2 \frac{dx}{(x^2-2x+4)^{\frac{3}{2}}} = \frac{k}{k+5}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^1 x(1-x)^n dx = $ . . . . . . .

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $[x]$ અને $\{x\}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ ના પૂર્ણાંક ભાગ અને અપૂર્ણાંક ભાગ છે. સંકલન $\int_0^5 [x]\{x\} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module