रेखा $\frac{x - 6}{-1} = \frac{y + 1}{0} = \frac{z + 3}{4}$ और समतल $x + y - z = 3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

माना $P_1$ समतल $3x - y - 7z = 11$ है और $P_2$ बिंदुओं $(2, -1, 0)$,$(2, 0, -1)$,और $(5, 1, 1)$ से गुजरने वाला समतल है। यदि बिंदु $(7, 4, -1)$ से समतलों $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा पर खींचे गए लंब का पाद $(\alpha, \beta, \gamma)$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान $............$ है।

यदि रेखा $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ और समतल $x + 2y + 3z = 4$ के बीच का कोण $\cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतल $5x + 3y + 6z + 8 = 0$ के लंबवत और समतलों $x + 2y + 3z - 4 = 0$ और $2x + y - z + 5 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उस बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ रेखा $r = (i - j + k) + t(i + j + k)$ समतल $r \cdot (i + j + k) = 5$ को काटती है।

$\mathbb{R}^3$ में,मान लीजिए $L$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। मान लीजिए कि $L$ पर स्थित सभी बिंदु दो समतलों $P_1: x+2y-z+1=0$ और $P_2: 2x-y+z-1=0$ से समान दूरी पर हैं। मान लीजिए $M$,$L$ पर स्थित बिंदुओं से समतल $P_1$ पर खींचे गए लंबों के पाद का बिंदु-पथ है। निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $M$ पर स्थित है?
$(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}\right)$
$(B) \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$
$(C) \left(-\frac{5}{6}, 0, \frac{1}{6}\right)$
$(D) \left(-\frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)$