જો $f(x) = x^{\alpha} \log x, x > 0, f(0) = 0$ અને $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શું થાય?

વિધેય $y=x^{2}+2$ માટે અંતરાલ $[-2, 2]$ પર રોલના પ્રમેયની ચકાસણી કરો.

નીચેના વિધેયો ધ્યાનમાં લો:
$I) f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}-x, & x < \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}-x)^2, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
$II) f(x) = |3x-1|$
$III) f(x) = x|x|$
$IV) f(x) = |x|$
તો $[0, 1]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ કયા વિધેયો માટે લાગુ પડે છે?

ધારો કે $f$ એ $[a, b]$ પર સતત વિકલનીય વિધેય છે અને $(a, b)$ પર બે વાર વિકલનીય છે, જેથી $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ અને $f(b)=0$ થાય. તો:

જો વિધેય $f(x) = \log \left( \frac{x^2 + a}{x} \right)$ માટે અંતરાલ $[3, 4]$ પર રોલેનું પ્રમેય લાગુ પડતું હોય અને $c \in (3, 4)$ એવું હોય કે જેથી $f'(c) = 0$, તો $f''(c)$ નું મૂલ્ય છે

જો $f(x) = \cos x$ એ $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે હોય,તો મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ શું થશે?