समाकलन ज्ञात कीजिए: int {frac{{{e^{{{tan }^{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int {\frac{{{e^{{{	an }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } ight)}^2}\

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${e^{{{	an }^{ - 1}}x}}\,.\,{\left( {{{	an }^{ - 1}}x} ight)^2}\,\,+ C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int {\frac{{{e^{{{	an }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } ight)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} ight)} ight]} \,\,\,dx$ है। सबसे पहले,त्रिकोणमितीय पदों को सरल करने पर: $x > 0$ के लिए,माना $	an^{-1}x = 	heta$,तो $x = 	an	heta$। $\sec^{-1}\sqrt{1+x^2} = \sec^{-1}(\sec	heta) = 	heta = 	an^{-1}x$। साथ ही,$\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight) = \cos^{-1}(\cos 2	heta) = 2	heta = 2	an^{-1}x$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{e^{	an^{-1}x}}{1+x^2} [(	an^{-1}x)^2 + 2	an^{-1}x] dx$। माना $t = 	an^{-1}x$,तो $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$। $I = \int e^t (t^2 + 2t) dt$। सूत्र $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$: $I = e^t \cdot t^2 + C = e^{	an^{-1}x} (	an^{-1}x)^2 + C$।

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int {\frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)} \right]} \,\,\,dx$ जहाँ $x > 0$.

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$\int {{e^x}\left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 - \cos x}}} \right)\,dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

$\int \frac{e^{\cot x}}{\sin^2 x} (2 \log \csc x + \sin 2 x) dx =$

$\int e^{x} \sec x(1+\tan x) dx =$

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