एक वृत्त का केंद्र C परवलय के अक्ष पर स्थित ह | vedclass

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Question

(A) माना परवलय $y^{2} = 4ax$ है। वृत्त का केंद्र $C(x_1, 0)$ है।चूंकि वृत्त परवलय को $P$ पर स्पर्श करता है,त्रिज्या $CP$ बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा के लं

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$2$

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(A) माना परवलय $y^{2} = 4ax$ है। वृत्त का केंद्र $C(x_1, 0)$ है।चूंकि वृत्त परवलय को $P$ पर स्पर्श करता है,त्रिज्या $CP$ बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा के लंबवत है।$CP$ और परवलय के अक्ष के बीच का कोण $120^{\circ}$ है,इसलिए $P$ के निर्देशांक $(x_1 - 2\cos 60^{\circ}, 2\sin 60^{\circ}) = (x_1 - 1, \sqrt{3})$ हैं।चूंकि $P$,$y^2 = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए $3 = 4a(x_1 - 1)$ है।$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{2a}{\sqrt{3}}$ है।अभिलंब $CP$ की ढाल $m_n = \frac{\sqrt{3} - 0}{(x_1 - 1) - x_1} = -\sqrt{3}$ है।चूंकि अभिलंब स्पर्शरेखा के लंबवत है,$m_t 	imes m_n = -1$ होगा।$\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}ight)(-\sqrt{3}) = -1$ $\Rightarrow -2a = -1$ $\Rightarrow a = \frac{1}{2}$।नाभिलंब $4a = 4 	imes \frac{1}{2} = 2$ है।

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परवलय $y^2 = 4ax$ की जीवा की लंबाई,जो शीर्ष से होकर गुजरती है और परवलय के अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है,क्या है?

यदि रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ और $x - y + k = 0$ परवलय $y^2 = 8x$ के सापेक्ष संयुग्मी (conjugate) हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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परवलय $x^2 = 8y$ के शीर्ष और नाभिलंब के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

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