ઉપવલય $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{1}=1$ પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક ધ્યાનમાં લો. અક્ષો વચ્ચે કપાયેલા ભાગના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$,જ્યાં $a > 2$,માં અંતર્ગત ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ,જેનો એક શિરોબિંદુ ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષના એક અંત્યબિંદુ પર હોય અને એક બાજુ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તે $6 \sqrt{3}$ છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો $4x + 2y + n = 0$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ નો અભિલંબ હોય,તો $n = $

ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો જેની નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ હોય અને ઉત્કેન્દ્રિતા $1/2$ હોય.

ઉપવલય $\frac{x^2}{27} + y^2 = 1$ પર બિંદુ $(3\sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$. આ સ્પર્શક દ્વારા અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડોનો સરવાળો ન્યૂનતમ હોય તે માટે $\theta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $E$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ છે. $E$ પરના કોઈપણ ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓ $P, Q$ અને $Q^{\prime}$ માટે,ધારો કે $M(P, Q)$ એ $P$ અને $Q$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે,અને $M(P, Q^{\prime})$ એ $P$ અને $Q^{\prime}$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે. તો જેમ $P, Q$ અને $Q^{\prime}$ એ $E$ પર બદલાય છે,તેમ $M(P, Q)$ અને $M(P, Q^{\prime})$ વચ્ચેના અંતરનું મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય કેટલું થાય?