फलन y = log_{a}(x + sqrt{x^{2} + 1}) पर विचार | vedclass

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Question

(C) दिया गया है, $y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$, $a > 0, a 
eq 1$. दोनों पक्षों का घातांकीय रूप लेने पर, $a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$. अब, $a

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है $x = \sinh(y \log a)$

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(C) दिया गया है, $y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$, $a > 0, a 
eq 1$. दोनों पक्षों का घातांकीय रूप लेने पर, $a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$. अब, $a^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ पर विचार करें। हर का परिमेयकरण करने पर, $a^{-y} = \sqrt{x^{2} + 1} - x$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $a^{y} - a^{-y} = (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = 2x$. अतः, $x = \frac{a^{y} - a^{-y}}{2}$. चूँकि $a^{y} = e^{y \ln a}$, इसलिए $x = \frac{e^{y \ln a} - e^{-y \ln a}}{2}$. परिभाषा $\sinh(u) = \frac{e^{u} - e^{-u}}{2}$ का उपयोग करने पर, हमें $x = \sinh(y \ln a)$ प्राप्त होता है। अतः, प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y) = \sinh(y \log a)$ है।

फलन $y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$ पर विचार करें, जहाँ $a > 0$ और $a \neq 1$ है। इस फलन का प्रतिलोम (inverse):

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यदि फलन $f(x) = x^3 + e^{x/2}$ और $g(x) = f^{-1}(x)$ है,तो $g^{\prime}(1)$ का मान है

निम्नलिखित में से कौन सा फलन स्वयं का प्रतिलोम (inverse) है?

मान लीजिए कि $f: X \rightarrow Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है। दर्शाइए कि $f^{-1}$ का व्युत्क्रम $f$ है,अर्थात $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ है।

यदि $g(x)$ फलन $f(x)$ का प्रतिलोम है और $f^{\prime}(x) = \frac{1}{h(x)}$ है,तो $g^{\prime}(x) = $

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