आठ सदिशों के समुच्चय V={a hat{i}+b hat{j}+c h | vedclass

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Question

(A) समुच्चय $V$ में $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ रूप के $8$ सदिश हैं।ये सदिश मूल बिंदु पर केंद्रित एक घन के शीर्षों को दर्शाते हैं।$8$ में से $3$ सदिशों को

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$6$

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(A) समुच्चय $V$ में $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ रूप के $8$ सदिश हैं।ये सदिश मूल बिंदु पर केंद्रित एक घन के शीर्षों को दर्शाते हैं।$8$ में से $3$ सदिशों को चुनने के कुल तरीके $\binom{8}{3} = \frac{8 	imes 7 	imes 6}{3 	imes 2 	imes 1} = 56$ हैं।यदि तीन सदिश मूल बिंदु से गुजरने वाले एक ही समतल में स्थित हों,तो वे समतलीय कहलाते हैं।किसी भी सदिश $\vec{v} \in V$ के लिए,उसका ऋणात्मक $-\vec{v}$ भी $V$ में है। यदि हम विपरीत सदिशों का एक जोड़ा $(\vec{v}, -\vec{v})$ चुनते हैं,तो कोई भी तीसरा सदिश $\vec{u} \in V$ उनके साथ एक समतलीय समुच्चय बनाएगा क्योंकि $\vec{v}$ और $\vec{u}$ को समाहित करने वाला समतल $-\vec{v}$ को भी समाहित करता है।विपरीत सदिशों के ऐसे $4$ जोड़े हैं: $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$,$(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$,$(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$,और $(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$.प्रत्येक जोड़े के लिए,$6$ शेष सदिश हैं। इस प्रकार,$3$ समतलीय सदिशों के $4 	imes 6 = 24$ समुच्चय हैं।असमतलीय समुच्चयों की संख्या $= 56 - 24 = 32$.हमें दिया गया है कि तरीकों की संख्या $2^p$ है,इसलिए $2^p = 32 = 2^5$.अतः,$p = 5$.

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यदि $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}, q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}, r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$,जहाँ $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(a + b + c) \cdot (p + q + r)$ का मान क्या होगा?

$\lambda$ के किस मान के लिए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{c} = -3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ समतलीय हैं?

$[i, k, j] + [k, j, i] + [j, k, i]$

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