निर्धारित कीजिए कि समुच्चय $N$ पर निम्नलिखित में से कौन सी द्विआधारी संक्रियाएँ साहचर्य हैं और कौन सी क्रमविनिमेय हैं: $a \ast b = 1$,सभी $a, b \in N$ के लिए।
(A) $1$. क्रमविनिमेयता: समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $\ast$ क्रमविनिमेय होती है यदि सभी $a, b \in N$ के लिए $a \ast b = b \ast a$ हो। यहाँ,$a \ast b = 1$ और $b \ast a = 1$ है। चूँकि $1 = 1$ है,इसलिए यह संक्रिया क्रमविनिमेय है।
$2$. साहचर्यता: समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $\ast$ साहचर्य होती है यदि सभी $a, b, c \in N$ के लिए $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$ हो। यहाँ,$(a \ast b) \ast c = 1 \ast c = 1$ है। साथ ही,$a \ast (b \ast c) = a \ast 1 = 1$ है। चूँकि $1 = 1$ है,इसलिए यह संक्रिया साहचर्य है।
अतः,यह संक्रिया साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है।
$2$. साहचर्यता: समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $\ast$ साहचर्य होती है यदि सभी $a, b, c \in N$ के लिए $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$ हो। यहाँ,$(a \ast b) \ast c = 1 \ast c = 1$ है। साथ ही,$a \ast (b \ast c) = a \ast 1 = 1$ है। चूँकि $1 = 1$ है,इसलिए यह संक्रिया साहचर्य है।
अतः,यह संक्रिया साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है।
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