निश्चित समाकलन int_{0}^{a} sqrt{frac{x}{a-x}} | vedclass

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Question

(C) समाकलन $I = \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = a \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करें। तब $dx = 2a \sin 	heta \co

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$\frac{\pi}{2} a$

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(C) समाकलन $I = \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = a \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करें। तब $dx = 2a \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$ होगा। जब $x = 0$ है,तो $	heta = 0$ और जब $x = a$ है,तो $\sin^2 	heta = 1$,अतः $	heta = \frac{\pi}{2}$ होगा। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{a \sin^2 	heta}{a - a \sin^2 	heta}} \cdot (2a \sin 	heta \cos 	heta) \, d	heta$ $I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{\sin^2 	heta}{\cos^2 	heta}} \cdot (2a \sin 	heta \cos 	heta) \, d	heta$ $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin 	heta}{\cos 	heta} \cdot (2a \sin 	heta \cos 	heta) \, d	heta$ $I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 	heta \, d	heta$ सर्वसमिका $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2	heta}{2} \, d	heta = a \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos 2	heta) \, d	heta$ $I = a [	heta - \frac{\sin 2	heta}{2}]_{0}^{\pi/2} = a [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{2} a$. अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{a} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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