दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = | vedclass

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Question

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।माना शीर्ष $C$ बिंदु $(a, 0)$ पर है। अन्य दो शीर्ष $A(-x_1, y_1)$ और $B(-x_1, -y_1)

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$\frac{3\sqrt{3}}{4} ab$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।माना शीर्ष $C$ बिंदु $(a, 0)$ पर है। अन्य दो शीर्ष $A(-x_1, y_1)$ और $B(-x_1, -y_1)$ हैं,जहाँ $x_1 > 0$ और $y_1 > 0$ है।चूंकि $A(-x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $y_1 = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x_1^2}$ है।त्रिभुज का आधार $2y_1 = \frac{2b}{a} \sqrt{a^2 - x_1^2}$ है और ऊंचाई $h = a - (-x_1) = a + x_1$ है।त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes \left( \frac{2b}{a} \sqrt{a^2 - x_1^2} ight) 	imes (a + x_1) = \frac{b}{a} (a + x_1)^{3/2} (a - x_1)^{1/2}$ है।$A$ को अधिकतम करने के लिए,$A^2 = \frac{b^2}{a^2} (a + x_1)^3 (a - x_1)$ को अधिकतम करते हैं।माना $f(x_1) = (a + x_1)^3 (a - x_1)$ है। तब $f'(x_1) = 3(a + x_1)^2 (a - x_1) - (a + x_1)^3 = (a + x_1)^2 [3a - 3x_1 - a - x_1] = (a + x_1)^2 (2a - 4x_1)$ है।$f'(x_1) = 0$ रखने पर,हमें $x_1 = a/2$ प्राप्त होता है (क्योंकि $x_1 = -a$ संभव नहीं है)।$x_1 = a/2$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:$A = \frac{b}{a} (a + a/2) \sqrt{a^2 - a^2/4} = \frac{b}{a} (\frac{3a}{2}) \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{b}{a} \cdot \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} ab$।

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