ऐसी दो धनात्मक संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $15$ है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम है।

यदि $20$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि एक भाग का घन और दूसरे भाग का वर्ग का गुणनफल अधिकतम हो,तो ये दो भाग हैं:

मान लीजिए $f(x)$ एक त्रिघात बहुपद है जहाँ $f(1) = -10$,$f(-1) = 6$ है,और इसका $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। साथ ही,$f'(x)$ का $x = -1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। तो $f(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण $x \log x = 3 - x$:

$e^{(2x^2 - 2x - 1)\sin^2 x}$ का न्यूनतम मान ....... है।

यदि वास्तविक रेखा $R$ पर परिभाषित एक सतत फलन $f$,$R$ में धनात्मक और ऋणात्मक मान ग्रहण करता है,तो समीकरण $f(x)=0$ का $R$ में एक मूल होता है। उदाहरण के लिए,यदि यह ज्ञात हो कि $R$ पर एक सतत फलन $f$ किसी बिंदु पर धनात्मक है और इसका न्यूनतम मान ऋणात्मक है,तो समीकरण $f(x)=0$ का $R$ में एक मूल होता है।
सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x)=k e^x-x$ पर विचार करें,जहाँ $k$ एक वास्तविक स्थिरांक है।
$1.$ रेखा $y=x$,$k \leq 0$ के लिए $y=k e^x$ से कहाँ मिलती है?
$(A)$ किसी बिंदु पर नहीं $(B)$ एक बिंदु पर $(C)$ दो बिंदुओं पर $(D)$ दो से अधिक बिंदुओं पर
$2.$ $k$ का धनात्मक मान जिसके लिए $k e^x-x=0$ का केवल एक मूल है,वह है
$(A)$ $1/e$ $(B)$ $1$ $(C)$ $e$ $(D)$ $\log_e 2$
$3.$ $k>0$ के लिए,$k$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिनके लिए $k e^x-x=0$ के दो भिन्न मूल हैं,वह है
$(A)$ $(0, 1/e)$ $(B)$ $(1/e, 1)$ $(C)$ $(1/e, \infty)$ $(D)$ $(0, 1)$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।